Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)， 為橢圓上異于的點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若，以為直徑的圓過點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）設(shè)直線與軸分別交于，證明： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，左焦點(diǎn)，可求出和，從而求出橢圓的方程；（2）設(shè)，則，且，由，以為直徑的圓過點(diǎn)可得即，從而可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）設(shè)，則的方程為，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則 ，化簡求得.

試題解析：（1）∵且

∴， .

∴橢圓方程為.

（2）設(shè)，則，且.①

∵以為直徑的圓過點(diǎn)

∴

∴，

又∵，

∴.②

由①②解得： ，或（舍）

∴.

又∵圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為，

∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（3）設(shè)，則的方程為，若不存在，顯然不符合條件.

令得；同理，

∴ 為定值.