Question

已知f（x）=log_a（a-a^x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，若不等式f^-1（x²-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于是對(duì)數(shù)函數(shù)，故其真數(shù)大于0，再對(duì)a進(jìn)行分類討論；
（2）不等式f^-1（x²-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立等價(jià)于不等式x²-mx+4＜x在x∈[-3，-1]上恒成立，從而分離參數(shù)m＜

x2-x+4

x

=x+

4

x

-1在x∈[-3，-1]上恒成立，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由a-a^x＞0得x＞1，此時(shí)定義域?yàn)椋?，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，由a-a^x＞0得x＜1，此時(shí)定義域?yàn)椋?∞，1）．
（2）令y=log_a（a-a^x），則a^y=a-a^x，解得x=log_a（a-a^y），
所以f^-1（x）=log_a（a-a^x）（a＞0，x＜1）
又因?yàn)楹瘮?shù)y=log_a（a-a^x）（a＞0，x＜1）在定義域上單調(diào)遞減，于是不等式f^-1（x²-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立等價(jià)于不等式x²-mx+4＜x在x∈[-3，-1]上恒成立．
由于x∈[-3，-1]，所以m＜

x2-x+4

x

=x+

4

x

-1在x∈[-3，-1]上恒成立．
因函數(shù)y=x+

4

x

-1在區(qū)間[-3，-1]上的最小值為-6，所以m＜-6．

點(diǎn)評(píng)：本題以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域，考查恒成立問題的處理，考查分離參數(shù)法，考查利用基本不等式求最值．