Question

設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，若關(guān)于x的函數(shù)f（x）=

|lgx|，x＞0 -x2-2x，x≤0

，若關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）+2bf（x）+1有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

-

3

2

＜b＜-

2

．

Answer 1

分析：先將函數(shù)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題．結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，從而確定b的取值范圍．

解答：解：令t=f（x），則原函數(shù)等價(jià)為y=2t²+2bt+1．做出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
圖象可知當(dāng)由0＜t＜1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有四個(gè)交點(diǎn)．
要使關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）+2bf（x）+1有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)y=2t²+2bt+1有兩個(gè)根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1．
令g（t）=2t²+2bt+1，則由根的分布可得

△=4b2-8＞0 g(0)=1＞0 g(1)=2b+3＞0 0＜- 2b 2×2 ＜1

，
解得

b＞ 2 或b＜- 2 b＞- 3 2 -2＜b＜0

，即-

3

2

＜b＜-

2

，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是-

3

2

＜b＜-

2

．
故答案為：-

3

2

＜b＜-

2

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，以及二次函數(shù)根的分布，換元是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．