Question

（1）若指數(shù)函數(shù)y=a^x的圖象與直線(xiàn)y=x相切，則a=

e 

1

e

；
（2）如果函數(shù)f（x）=a^x-log_ax不存在零點(diǎn)，則a的取值范圍為

(e

1

e

，+∞)

．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），然后得到兩個(gè)等式f（m）=m，f'（m）=1，利用消元法消去m，最后求出a即可．
（2）由于函數(shù)f（x）=a^x-log_ax不存在零點(diǎn)，故函數(shù)y=a^x與y=log_ax不存在交點(diǎn)，即函數(shù)y=a^x的圖象不與直線(xiàn)y=x相交，由（1）知，指數(shù)函數(shù)y=a^x的圖象與直線(xiàn)y=x相切，則a=e 

1

e

，故a的取值范圍可知．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=a^x（a＞1）的圖象與直線(xiàn)y=x圖象相切
∴設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m）且a^m=m，f'（m）=a^mlna=1
∴mlna=lnm=1
∴m=e，a=e 

1

e

；
（2）∵函數(shù)f（x）=a^x-log_ax不存在零點(diǎn)，
∴函數(shù)y=a^x與y=log_ax不存在交點(diǎn)，
由于函數(shù)y=a^x與y=log_ax關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，
則函數(shù)y=a^x的圖象不與直線(xiàn)y=x相交，
由（1）知，指數(shù)函數(shù)y=a^x的圖象與直線(xiàn)y=x相切時(shí)a為e 

1

e

，
則a的取值范圍為（e 

1

e

，+∞）．
故答案為：e 

1

e

；（e 

1

e

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，以及對(duì)數(shù)方程的求解，屬于中檔題．