Question

已知函數(shù)f（x）=

22-1

2x+1

，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求證：f（x）在R為增函數(shù)；
（3）求證：方程f（x）-lnx=0至少有一根在區(qū)間（1，3）．

Answer 1

分析：（1） 由f（x）的解析式求得f（-x）的解析式，計(jì)算f（-x）+f（x）的值．
（2）設(shè)出2個(gè)自變量的值，計(jì)算這2個(gè)自變量的函數(shù)值的差，將差變形為因式積的形式，判斷符號(hào)．
（3）證明g（x）=f（x）-lnx 在區(qū)間（1，3）的端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)．

解答：（1）解：函數(shù)f（x）=

22-1

2x+1

，的定義域?yàn)镽，且f（x）=

22-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∴f（-x）+f（x）=1-

2

2-x+1

+1-

2

2x+1

=2-（

2

2-x+1

+

2

2x+1

）
=2-（

2•2x

1+2x

+

2

2x+1

）=2-2=0，
即：f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：設(shè)-∞＜x₁＜x₂＜+∞，f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵-∞＜x₁＜x₂＜+∞，∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1-2x2＜0，
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）令g（x）=f（x）-lnx=

2x-1

2x+1

-lnx，∵g（1）=

1

3

-0=

1

3

＞0，
g（3）=

23-1

23+1

-ln3=

7

9

-ln3＜0，
所以，方程 f（x）-lnx=0 至少有一根在區(qū)間（1，3）上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷方法，方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．