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				在四面體P—ABC中，PA、PB、PC兩兩互相垂直，P在△ABC內(nèi)的射影為O.試用向量法證明O為△ABC的垂心.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          證明：如圖,設(shè)=a,=b,=c.? 
          ∵PA,PB,PC兩兩互相垂直,?
          ∴a·b=0，b·c=0，c·a=0.?
          又PO⊥平面ABC,?
          ∴PO⊥AB,?
          ∴=0，?
          又=-=b-a，?
          ∴=（b-a）·c=b·c-a·c=0.?
          又∵=-,?
          ∴·=（-）=-=0，∴AB⊥CO.?
          同理可證AO⊥BC,BO⊥AC,?
          ∴O為△ABC的垂心.

          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)如圖所示，在四面體P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2
          		34
          ．F是線段PB上一點(diǎn)，CF=
          15
          17
          		34
          ，點(diǎn)E在線段AB上，且EF⊥PB．
          （1）證明：PB⊥平面CEF；
          （2）求二面角B-CE-F的大�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1，則
          1
          h
          2
          1
          =
          1
          CA2
          +
          1
          CB2
          ；類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P-ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          在△ABC中，如果點(diǎn)A在BC邊上的射影是D，△ABC的三邊BC、AC、AB的長依次是a、b、c，則a=b•cosC+c•cosb，類比這一結(jié)論，推廣到空間：在四面體P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面積依次為S、S1、S2、S3，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度數(shù)依次為α、β、γ，則S=
          S1cosα+S2cosβ+S3cosγ
          S1cosα+S2cosβ+S3cosγ
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1，則
          1
          h
          2
          1
          =
          1
          |CA|2
          +
          1
          |CB|2
          ；
          類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P-ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，
          底面ABC上的高為h，則得到的一個(gè)正確結(jié)論是
          1
          h2
          =
          1
          |PA|2
          +
          1
          |PB|2
          +
          1
          |PC|2
          1
          h2
          =
          1
          |PA|2
          +
          1
          |PB|2
          +
          1
          |PC|2
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知在四面體P-ABC中，對棱相互垂直，則點(diǎn)P在平面ABC上的射影為△ABC的（　�。�
          

			
          

			
          
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