Question

已知雙曲線y²-x²=1，過上焦點F₂的直線與下支交于A、B兩點，且線段AF₂、BF₂的長度分別為m、n．
（1）寫出直線AB的斜率k的取值范圍；
（2）證明mn≥1；
（3）當直線AB的斜率時，求mn的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）結合等軸雙曲線的性質能夠寫出直線AB的斜率k的取值范圍．
（2）雙曲線焦點為．設直線AB的方程為．當k=0時，mn=1．當代入雙曲線方程，得．由雙曲線的第二定義，知，，由此能夠證明mn≥1．
（3）記mn=λ，由，解得．由為所求．
解答：解：（1）所求斜率的范圍是-1＜k＜1．
（說明：只要寫出范圍，不需考查過程）（2分）
（2）易知雙曲線上焦點為．
設直線AB的方程為．
當k=0時，A、B兩點的橫坐標分別為1和-1，
此時mn=1．（4分）
當代入雙曲線方程，消去x得．（6分）
由雙曲線的第二定義，知，（8分）
所以，．
綜上，知mn≥1．（10分）
（3）記mn=λ，由（2）知，，
解得．
由為所求．（14分）
點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．