Question

已知函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，恒有
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)不等式f（x）≤lgt的解集為A，且A⊆（0，4]，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集為∅，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，恒有，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b方程組，解方程組求出a，b值，進(jìn)而得到f（x）的表達(dá)式；
（2）由（1）中函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，我們可將不等式f（x）≤lgt，轉(zhuǎn)化為一個(gè)分式不等式，由等式f（x）≤lgt的解集為A，且A⊆（0，4]，可以構(gòu)造出關(guān)于關(guān)于t的不等式，解不等式即可求出滿足條件的實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將方程f（x）=lg（8x+m），轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的分式方程組，進(jìn)而根據(jù)方程f（x）=lg（8x+m）的解集為∅，則方程組至少一個(gè)方程無(wú)解，或兩個(gè)方程的解集的交集為空集，分類討論后，即可得到答案．
解答：解：（1）∵當(dāng)x＞0時(shí)，恒成立
∴，
即（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b（2分）
又f（1）=0，即a+b=2，從而a=b=1，
∴（4分）
（2）由不等式f（x）≤lgt，
即且（6分）
由于解集A⊆（0，4]，故0＜t＜2，（7分）
所以即，（8分）
又因?yàn)?＜t＜2，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是（10分）
（3）由（12分）
方程的解集為∅，故有兩種情況：
①方程8x²+（6+m）x+m=0無(wú)解，即△＜0，得2＜m＜18（14分）
②方程8x²+（6+m）x+m=0有解，兩根均在[-1，0]內(nèi)，g（x）=8x²+（6+m）x+m
則（17分）
綜合①②得實(shí)數(shù)m的取值范圍是0≤m＜18（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b方程組，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將已知中的不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)分式不等式，（3）的關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，將已知的方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)x的分式方程組．