Question

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓的離心率為，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長(zhǎng)為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線恒過(guò)一定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為 ，拋物線的方程為；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可知，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組可知橢圓的方程為 ，拋物線的方程為.

(2)由題意設(shè)直在x軸的截距方程： ，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，結(jié)合斜率公式可得直線的方程為，整理變形即： ，據(jù)此可知直線恒過(guò)定點(diǎn).

試題解析：

(1)設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，可得，則，

代入，得，即，所以，

則有，

所以橢圓的方程為 ，拋物線的方程為.

（2）依題意，可知直線的斜率不為0，可設(shè)，

聯(lián)立 ，得，設(shè)，則，

，得或， ，

所以直線的斜率，

可得直線的方程為，

即

，所以當(dāng)或時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn).