Question

已知圓錐的正視圖是邊長為2的正三角形，O是底面圓心．
（Ⅰ）求圓錐的側(cè)面積；
（Ⅱ）經(jīng)過圓錐的高AO的中點O′作平行于圓錐底面的截面，求截得的兩部分幾何體的體積比．

Answer 1

分析：（I）先利用正視圖正三角形的性質(zhì)，計算圓錐的底面半徑和母線長，再利用圓錐的側(cè)面積計算公式即可得圓錐的側(cè)面積；
（II）利用圓錐的體積計算公式，先算小圓錐的體積，再用大圓錐的體積減小圓錐的體積，即可得圓臺的體積，進(jìn)而得兩部分體積之比

解答：解：（Ⅰ）由題意得圓錐底面半徑r=1，母線長l=2．∴S_側(cè)=πrl=2π．
（Ⅱ）設(shè)圓錐的高為h，則h=

3

，r=1，
∴小圓錐的高h(yuǎn)′=

3

2

，小圓錐的底面半徑r′=

1

2

，
∴V圓錐=

1

3

Sh=

3

3

π．V小圓錐=

1

3

S′h′=

3

24

π．
∴V_圓臺=V_圓錐-V_小圓錐=

1

3

Sh-

1

3

S′h′=

3 π

3

-

3 π

24

=

7 3 π

24

．
∴

V小圓錐

V圓臺

=

1

7

．

點評：本題主要考查了圓錐的側(cè)面積計算公式，圓錐的體積計算公式，圓臺體積的計算方法，求分割幾何體的體積之比的計算方法，屬基礎(chǔ)題