Question

【題目】已知三棱錐A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．

（1）求證：BC⊥平面APC；
（2）若BC=3，AB=10，求三棱錐B﹣MDC的體積VB﹣MDC ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△PMB為正三角形，

且D為PB的中點(diǎn)，∴MD⊥PB．

又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，

∴MD∥AP，∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，

∴BC⊥平面APC

（2）解：有VM﹣BCD=VB﹣MDC．

∵AB=10，∴MB=PB=5，

又BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，

∴ ．

又 ，∴ ．

【解析】（1）運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和中位線定理，證得AP⊥平面PBC，再由線面垂直的性質(zhì)得，AP⊥BC，結(jié)合條件AC⊥BC，即可得證；（2）運(yùn)用VM﹣BCD=VB﹣MDC ． 由棱錐的體積公式，計(jì)算三角形BCD的面積和MD，即可得到．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．