Question

【題目】已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)都在橢圓上，且中點(diǎn)在線段（不包括端點(diǎn)）上，求面積的最大值，及此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積的最大值為1，此時(shí)直線的方程為

【解析】

（1）依題意可得，求出，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，，易知直線AB的斜率存在，設(shè)為k，將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，所得兩式相減，可得到，進(jìn)而可求出k的值，從而設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，分別表示出弦長及點(diǎn)O到直線AB的距離，從而可求得面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出最大值，并求得此時(shí)直線的方程.

（1）依題意可得，

即，解得，則．

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，，，

依題意可知，直線AB的斜率存在，設(shè)為k，

則，所以，

即，

又，，，所以，

又直線OP：，M在線段OP上，所以，所以．

設(shè)直線AB的方程為，

聯(lián)立方程，可得，

，，，

且，即，解得，

所以，，

又點(diǎn)O到直線AB的距離，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即舍去時(shí)，等號成立，此時(shí)直線方程為.

所以面積的最大值為1，此時(shí)直線的方程為.