Question

（13分）如圖分別是正三棱臺(tái)ABC－A₁B₁C₁的直觀(guān)圖和正視圖，O，O₁分別是上下底面的中心，E是BC中點(diǎn)．

    （1）求正三棱臺(tái)ABC－A₁B₁C₁的體積；

    （2）求平面EA₁B₁與平面A₁B₁C₁的夾角的余弦；

    （3）若P是棱A₁C₁上一點(diǎn)，求CP＋PB₁的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1） ；

（2）  ；（3） 的最小值為 

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中二面角的求解和棱臺(tái)體積公式的運(yùn)用，以及線(xiàn)段和的最值問(wèn)題的綜合運(yùn)用。

（1）首先要求解三棱臺(tái)的體積，關(guān)鍵是高度和底面積，然后結(jié)合公式得到。

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求解二面角的平面角的問(wèn)題。

（3）結(jié)合三角形的知識(shí)，求解兩邊的和的最小值，要借助于余弦定理得到。

解:（1）由題意,正三棱臺(tái)高為……..2分

………..4分

 

（2）設(shè)分別是上下底面的中心，是中點(diǎn)，是中點(diǎn).

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系. ，， ，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即

取，取平面的一個(gè)法向

量，設(shè)所求角為

則 ……..8分

（3）將梯形繞旋轉(zhuǎn)到,使其與成平角

，由余弦定理得

即的最小值為 ……..13分