Question

在直角坐標(biāo)系中，角φ、2x的終邊分別與單位圓（以原點(diǎn)O為圓心）交于A、B兩點(diǎn)，函數(shù)f(x)=

OA

 • 

OB

，若f(x)≤f(

π

6

)對(duì)x∈R恒成立．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸與單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合f(x)≤f(

π

6

)對(duì)x∈R恒成立，確定函數(shù)的解析式；
（2）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸與單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）∵角φ、2x的終邊分別與單位圓（以原點(diǎn)O為圓心）交于A、B兩點(diǎn)，
∴

OA

=（cosφ，sinφ），

OB

=（cos2x，sin2x）
∴f(x)=

OA

 • 

OB

=cosφcos2x+sinφsin2x=cos（2x-φ）
∵f(x)≤f(

π

6

)對(duì)x∈R恒成立，
∴f(

π

6

)=1，即cos（2×

π

6

-φ）=1
∴φ-

π

3

=2kπ
∴φ=2kπ+

π

3

，k∈Z
∴f（x）=cos[2x-（2kx+

π

3

）]=cos（2x-

π

3

），
即函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=cos（2x-

π

3

）
（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-

π

3

），
令2x-

π

3

=kπ，k∈Z，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∵2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，k∈Z，
kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z，

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題．