Question

【題目】如圖，已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為，，短軸的兩端點(diǎn)分別為，，線段，的中點(diǎn)分別為，，且四邊形是面積為8的矩形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）； （2）或 .

【解析】

（I）通過矩形的面積和對(duì)角線長(zhǎng)相等列方程組，結(jié)合，解得的值，從而求得橢圓方程.（II）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直接得出直線的方程，代入橢圓方程求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入驗(yàn)證出不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理，將坐標(biāo)代入，解方程求得直線的斜率，由此求得直線的方程.

（I）在矩形中，

所以四邊形是正方形，所以

又

，

∴橢圓C的方程為．

（II）由（I）可知，

1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=-2,

由

∴l：x=-2不滿足題意．

2）當(dāng)l的斜率為k時(shí)，設(shè)l的方程為，

由

則

綜上所述，直線l的方程為或