Question

已知y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（x）=f（2-x），如果f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，那么f（x）在區(qū)間[-2，-1]和[3，4]上分別是（ ）
A．增函數(shù)和減函數(shù)
B．增函數(shù)和增函數(shù)
C．減函數(shù)和減函數(shù)
D．減函數(shù)和增函數(shù)

Answer 1

【答案】分析：由偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反及f（x）在[1，2]上是減函數(shù)可判斷f（x）在區(qū)間[-2，-1]上的單調(diào)性，根據(jù)f（-x）=f（x）及f（x）=f（2-x），可求得函數(shù)f（x）的周期，從而可判斷f（x）在[3，4]上的單調(diào)性．
解答：解：因為f（x）為偶函數(shù)，且f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)；
由f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），得f（2-x）=f（x）=f（-x），
所以f（x）是以2為周期的函數(shù)，
因為f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，所以f（x）在[3，4]上也為減函數(shù)．
故選A．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及周期性，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力．