Question

【題目】已知定義在R上函數(shù)f（x）是可導(dǎo)的，f（1）=2，且f（x）+f'（x）＜1，則不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（ ）（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，0）∪（0，1）
C.（0，1）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)F（x）=ex（f（x）﹣1），則F'（x）=ex[f（x）+f'（x）﹣1]，

因為ex＞0，由已知可得，F(xiàn)'（x）＜0，即函數(shù)F'（x）是單調(diào)減函數(shù)，F(xiàn)（1）=e，

故f（x）﹣1＜e1﹣x，即F（x）＜F（1），

則有x＞1；

即不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（1，+∞）；

故選：A．

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．