Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)F₁的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過(guò)F₂的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且AC⊥BD，垂足為P，
（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），證明：；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）橢圓的半焦距，
由AC⊥BD知點(diǎn)P在以線段為直徑的圓上，故，
所以，；
（Ⅱ）（�。┊�(dāng)BD的斜率k存在且k≠0時(shí)，BD的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得，
設(shè)，
則，
；
因?yàn)锳C與BC相交于點(diǎn)P，且AC的斜率為，
所以，，
四邊形ABCD的面積
，
當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)；
（ⅱ）當(dāng)BD的斜率k=0或斜率不存在時(shí)，四邊形ABCD的面積S=4；
綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為．