Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過(guò)右焦點(diǎn)F₂且斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若k=1，求|AB|的長(zhǎng)度、△ABF₁的周長(zhǎng)；
（2）若，求k的值．

Answer 1

解：（1）橢圓中a=2，∴△ABF₁的周長(zhǎng)4a=8，
由聯(lián)立得7x²-8x-8=0
∴
（2）設(shè)直線方程為y=k（x-1）代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵，∴1-x₁=2（x₂-1）--③
由①③得，
代入②，∴
分析：（1）利用橢圓的定義，可求△ABF₁的周長(zhǎng)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求|AB|的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)直線方程為y=k（x-1）代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，即可求k的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題．