Question

已知≤a≤1,若f(x)=ax²-2x+1在［1,3］上的最大值為M（a），最小值為N(a),設g(a)=M（a）-N(a).

______________________________.（先在橫線上填上一個結論，然后再解答）

Answer 1

構建問題：已知≤a≤1，若f(x)=ax²-2x+1在［1，3］上的最大值為M(a),最小值為N(a),設g(a)=M（a）-N(a).

判斷函數(shù)g(a)的單調(diào)性，并求出g(a)的最小值.

解析：∵f(x)=a(x-)²+1-,

∴f(x)的圖象為開口向上的拋物線.

∵1≤≤3,x∈［1,3］,

當x=時，f(x)有最小值N（a）=1-,f(1)=a-1,f(3)=9a-5,f(1)-f(3)=-8(a-).

當＜a≤1時，f(1)＜f(3),

∴M(a)=9a-5.

當≤a≤時，f(1)≥f(3),

∴M(a)=a-1.

∴g(a)=

設≤a₁≤a₂≤,則g(a₁)-g(a₂)=(a₁-a₂)(1-)＞0,

∴g(a₁)＞g(a₂).

∴g(a)在［，］上是減函數(shù).

同理，可證g(a)在（,1］上是增函數(shù).

∴當a=時，g(a)有最小值.