Question

已知x，y滿足線性約束條件

x-y+5≥0 x+y-5≥0 x≤3

求：
（1）Z₁=2x+4y的最大值和最小值．
（2）Z₂=

y

x+1

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)Z₁=2x+4y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，并觀察y軸上的截距變化，可得當(dāng)l分別經(jīng)過B、C時(shí)目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值和最大值，由此可得答案．
（2）設(shè)P（x，y）、Q（0，-1），可得Z₂=

y

x+1

表示直線P、Q連線的斜率，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P得到PQ斜率的最大、最小值，即可算出Z₂的最大值和最小值．

解答：解：（1）作出不等式組

x-y+5≥0 x+y-5≥0 x≤3

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（0，5），B（3，2），C（3，8）
設(shè)Z₁=F（x，y）=2x+4y，將直線l：Z₁=2x+4y進(jìn)行平移，
觀察y軸上的截距變化，可得
當(dāng)l經(jīng)過B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值；當(dāng)l經(jīng)過C時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值．
∴Z₁的最小值為F（3，2）=14；Z₁的最大值為F（3，8）=38．
（2）設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，可得
Z₂=

y

x+1

表示直線P、Q連線的斜率，其中Q（-1，0）
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Z₂=

5

0+1

=5，達(dá)到最大值；
當(dāng)P與B點(diǎn)重合時(shí)，Z₂=

2

3+1

=

1

2

，達(dá)到最小值，
∴Z₂=

y

x+1

的最大值為5，最小值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，著重考查了直線的斜率公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．