Question

下列四個(gè)命題中：
①a+b≥2

ab

；    
②sin2x+

4

sin2x

≥4；
③設(shè)x，y都是正數(shù)，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y的最小值是12；
④若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|＜2ε．
其中所有真命題的序號(hào)是

④

．

Answer 1

分析：對(duì)于①如a，b異號(hào)，a+b≥2

ab

不成立，對(duì)于②如sinx=0，則sin2x+

4

sin2x

≥4不成立，③設(shè)x，y都是正數(shù)，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

），在x+y上乘以

y

x

+

9x

y

，按照多項(xiàng)式的乘法展開，然后利用基本不等式求出最小值．④利用絕對(duì)值不等式：|x-y|≤|x-2|+|y-2|＜2ε，即可進(jìn)行判斷．

解答：解：①如a，b異號(hào)，a+b≥2

ab

不成立，故錯(cuò)；    
②如sinx=0，則sin2x+

4

sin2x

≥4不成立，故錯(cuò)；
③設(shè)x，y都是正數(shù)，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

）=10+

y

x

+

9x

y

≥16，故x+y的最小值是16；故錯(cuò)；
④若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|≤|x-2|+|y-2|＜2ε，故|x-y|＜2ε正確．
其中所有真命題的序號(hào)是 ④．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意不等式使用的條件：一正、二定、三相等．