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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=-
          13
          x3+x2+(m2-1)x(x∈R).
          (1)當(dāng)方程f(x)=0只有一個實數(shù)解時,求實數(shù)m的取值范圍;
          (2)當(dāng)m=1時,求過點(0,f(0))作曲線y=f(x)的切線的方程;
          (3)若m>0且當(dāng)x∈[1-m,3]時,恒有f(x)≤0,求實數(shù)m的取值范圍.
          分析:(1)對解析式提出x進行化簡,再把“f(x)=0只有一個實數(shù)解”,轉(zhuǎn)化為“-
          1
          3
          x2+x +(m2-1)
          =0沒有實數(shù)解”,再由判別式的符號與方程根的關(guān)系列出不等式,求出m的值;
          (2)先把m=1代入解析式并求出導(dǎo)數(shù),設(shè)出切點坐標(biāo)(x0,y0),代入解析式求出縱坐標(biāo),再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義點斜式求出切線方程,將原點坐標(biāo)代入求出x0的值,再代入切線方程化簡即可;
          (3)由題意求出導(dǎo)數(shù)并因式分解,求出函數(shù)的臨界點,判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再由區(qū)間端點進行分類討論,分別判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再求出函數(shù)的最大值,再列出不等式組,求出m的范圍.
          解答:解:(1)由題意得,f(x)=-
          1
          3
          x3+x2+(m2-1)x

          =x[-
          1
          3
          x2+x +(m2-1)]
          ,
          ∵方程f(x)=0只有一個實數(shù)解,
          -
          1
          3
          x2+x +(m2-1)
          =0沒有實數(shù)解,
          ∴△=1+
          4
          3
          (m2-1)
          <0,解得-
          1
          2
          <m<
          1
          2

          ∴實數(shù)m的取值范圍是(-
          1
          2
          1
          2
          )

          (2)當(dāng)m=1時,f(x)=-
          1
          3
          x3+x2
          ,則f′(x)=-x2+2x,
          設(shè)切點為(x0,y0),y0=-
          1
          3
          x03+x02
          ,
          ∴切線方程設(shè)為y-y0=f′(x0)(x-x0),
          y-(-
          1
          3
          x03+x02)=(-x02+2x0)(x-x0)
          ①,
          將原點(0,0)代入得,0-(-
          1
          3
          x03+x02)=(-x02+2x0)(0-x0)
          ,
          解得x0=0或x0=
          3
          2
          ,代入①得,y=0或3x-4y=0,
          則過(0,f(0))的切線的方程為:y=0或3x-4y=0,
          (3)由題意得,f′(x)=-x2+2x+m2-1=-(x-m-1)(x+m-1),
          由f′(x)=0得,x=m+1或x=1-m,
          ∵m>0,∴m+1>1-m,
          ∴f(x)在(-∞,1-m)和(1+m,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1-m,1+m)內(nèi)單調(diào)遞增.
          ①當(dāng)1+m≥3,即m≥2時,f(x)在區(qū)間[1-m,3]上是增函數(shù),
          f(x)max=f(3)=3m2-3
          m≥2
          3m2-3≤0
          ,解得m無解,
          ②當(dāng)1+m<3時,即0<m<2時,
          則f(x)在(1-m,1+m)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1+m,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,
          f(x)max=f(1+m)=
          2
          3
          m3+m2-
          1
          3
          ,
          0<m<2
          2
          3
          m3+m2-
          1
          3
          ≤0
          ,即
          0<m<2
          (m+1)2(2m-1)≤0
          ,
          解得0<m≤
          1
          2
          ,
          綜上得,m的取值范圍為(0,
          1
          2
          ].
          點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線的點斜式方程,以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系,涉及了恒成立問題的處理,分類討論思想.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=|1-
          1x
          |(x>0),證明:當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時,ab>1.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          1-
          1-x
          x
          (x<0)
          a+x2(x≥0)
          ,要使f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù),則a=
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          1             (x≤
          3
          )
          4-x2
          (
          3
          <x<2)
          0              (x≥2)
          ,則
          2010
          -1
          f(x)dx的值為
          π
          3
          +
          2+
          3
          2
          π
          3
          +
          2+
          3
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          1-|x-1|,x<2
          1
          2
          f(x-2),x≥2
          ,則函數(shù)F(x)=xf(x)-1的零點的個數(shù)為
          6
          6

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          1,x>0
          0,x=0
          -1,x<0
          ,g(x)=x2f(x-1),則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是(  )

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