Question

【題目】已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=1﹣x2 ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象．
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上單調(diào)，直接寫出實數(shù)a的取值范圍．（不必寫出演算過程）

Answer 1

【答案】
（1）解：1°因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以x=0時，f（0）=0

2°設(shè)x＜0，則﹣x＞0，根據(jù)當x＞0時，f（x）=1﹣x2，得f（﹣x）=1﹣（﹣x）2=1﹣x2

∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)

∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2﹣1

綜上：

（2）解：當x＞0時，函數(shù)圖象為開口向下拋物線的右側(cè)，當x＜0時，函數(shù)圖象為開口向上拋物線的左側(cè)，

并且f（0）=0，由此可得函數(shù)圖象如右圖

（3）解：根據(jù)（2）的函數(shù)圖象，可得當[a，a+1]（﹣∞，0）時，函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上是減函數(shù)；

當[a，a+1]（0，+∞）時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上是增函數(shù)．

解之得：a＜﹣1或a＞0

【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，再設(shè)x＜0，根據(jù)函數(shù)的表達式結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)得f（x）=﹣f（﹣x）=x2﹣1，最后綜合可得函數(shù)f（x）的表達式；（2）當x＞0時，函數(shù)圖象為開口向下拋物線的右側(cè)，當x＜0時，函數(shù)圖象為開口向上拋物線的左側(cè)，并且f（0）=0，由此可得函數(shù)圖象如圖；（3）對照（2）的函數(shù)圖象，可得當[a，a+1]（﹣∞，0）時或當[a，a+1]（0，+∞）時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上是單調(diào)函數(shù)，解之即得a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)，還要掌握奇偶性與單調(diào)性的綜合(奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．