Question

已知函數(shù)f（x）=log₃（2-sinx）-log₃（2+sinx）
（1）試判斷函數(shù)的奇偶性（2）求函數(shù)的值域

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=log₃（2-sinx）-log₃（2+sinx），（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義直接求解即可；
（2）把分子分離常數(shù)，根據(jù)-1≤sinx≤1，求出函數(shù)的值域．

解答：解：f(x)=log3

2-sinx

2+sinx

（1）f（x）的定義域?yàn)镽，則對(duì)x∈R中的任意x都有f(-x)=log3

2-sin(-x)

2+sin(-x)

=log3

2+sinx

2-sinx

=-log3

2-sinx

2+sinx

=-f(x)
所以f（x）為R上的奇函數(shù)．
（2）令t=

2-sinx

2+sinx

=-1+

4

2+sinx

∵-1≤sinx≤1∴1≤2+sinx≤3
∴

1

3

≤

1

2+sinx

≤1，∴

4

3

≤

4

2+sinx

≤4∴

1

3

≤t≤3
∴-1≤f（x）≤1；
即值域?yàn)閇-1，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值，考查計(jì)算能力．