Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

mx+2

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱．
（1）求m的值；
（2）若直線y=a（a∈R）與f（x）的圖象無公共點(diǎn)，且f（|t-2|+

3

2

）＜2a+f（4a），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在函數(shù)f（x）圖象上取一點(diǎn)（0，-2），此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（1，1）的對(duì)稱點(diǎn)（2，4）在函數(shù)f（x）的圖象上，由此求得m的值．
（2）由（1）可得f（x）=1+

3

x-1

，故 f（x） 的值域?yàn)閧y|y≠1}，a=1．不等式即 f（|t-2|+

3

2

）＜2+f（4）=4，整理可得|t-2|＞

1

2

，由此求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）在函數(shù)f（x）=

mx+2

x-1

的圖象上取一點(diǎn)（0，-2），此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（1，1）的對(duì)稱點(diǎn)為（2，4），
由題意可得，點(diǎn)（2，4）在函數(shù)f（x）=

mx+2

x-1

的圖象上，∴4=

2m+2

2-1

，解得 m=1．
（2）由（1）可得f（x）=

x+2

x-1

=1+

3

x-1

，∴f（x） 的值域?yàn)閧y|y≠1}．
當(dāng)直線y=a（a∈R）與f（x）的圖象無公共點(diǎn)，a=1，不等式即 f（|t-2|+

3

2

）＜2+f（4）=4，
∴1+

3

|t-2|+ 1 2

＜4，整理可得|t-2|＞

1

2

，解得：t＞

5

2

，或 t＜

3

2

，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

5

2

，+∞）∪（-∞，

3

2

 ）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象，分式不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．