Question

如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA₁=4，E、M、N分別是CC₁、A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B⊥C₁M；
（2）求BN的長(zhǎng)；
（3）求二面角B₁-A₁E-C₁平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，我們易求出A₁B與C₁M的方向向量，然后根據(jù)他們的數(shù)量積為0，易判斷A₁B⊥C₁M；
（2）根據(jù)N為AA₁的中點(diǎn)CA=CB=2，棱AA₁=4，求出B，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入空間兩點(diǎn)間的距離公式，即可求出BN的長(zhǎng)；
（3）分別求出平面B₁A₁E與平面A₁EC₁的法向量，我們代入向量的夾角公式即可求出二面角B₁-A₁E-C₁平面角的余弦值．

解答：證明：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系
A₁（2，0，4），B（0，2，0），C₁（0，0，4），M（1，1，4），

A1B

=(-2，2，-4)，

C1M

=(1，1，0)
∴

A1B

•

C1M

=-2+2=0∴A₁B⊥C₁M（4分）
（2）依題意得：B（0，2，0），N（2，0，2）
∴|BN|=

(2-0)2+(0-2)2+(2-0)2

=2

3

．（6分）
（3）依題意得：A₁（2，0，4），B（0，2，0），C（0，0，0），B₁（0，2，4）E（0，0，2），C₁（0，0，4）
∴

EB1

=(0，2，2)，

EA1

=(2，0，2)
∵BC⊥AC，BC⊥CC₁
∴平面C₁EA₁的法向量為

CB

=(0，2，0)，得|

CB

|=2
設(shè)平面B₁EA₁的法向量為

n

=(x，y，z)
則：

EB1

•

n

=0得：2y+2z=0∴y=-z

EA1

•

n

=0得：2+2z=0∴x=-z
令z=1，則

n

=(-1，-1，1)，得|

n

|=

3

則cos＜

CB

，

n

＞=

CB • n

| CB |•| n |

=

-2

2 3

=-

3

3

由題意可知：二面角B₁-A₁E-C₁的大小是銳角
所以二面角B₁-A₁E-C₁的平面角的余弦值是

3

3

..（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中建立空間坐標(biāo)系，將線線垂直，二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．