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				如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn). 
          （1）求證：CD⊥平面ABB1A1；
          （2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;
          （3）求三棱錐B1—A1BC的體積；
          （4）求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）證明:∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，? 
          ∴面ABC⊥面AA1B1B,交線為AB.?
          又∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°,?∴CA=CB.?
          又D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB.?
          ∴CD⊥平面AA1B1B.?
          （2）解析：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=.?
          作DE⊥A1B于E，連結(jié)CE.?
          由（1）知，CD⊥面AA1B1B，∴CE在面AA1B1B內(nèi)的射影是DE.?
          由三垂線定理知CE⊥A1B,?∴∠CED?是二面角C-A1B-A的平面角.?
          又∵D是AB中點(diǎn)，?
          ∴DE=DB=.?
          又CD=AB=,?
          在Rt△CDE中，tan∠CED=,故二面角A-A1B-C的平面角的正切值為.?
          （3）解析：由等積代換法得VB1—A1BC=VC—A1B1B?，∵AA1B1B是矩形，∴△AA1B的面積等于△A1B1B的面積.?
          ∴VC—A1B1B?=VC—AA1B?=·S△AA1B?·CD=.?
          ∴VB1—A1BC?=.?
          （4）解析：設(shè)C1B與面A1BC所成的角為θ,點(diǎn)C1到平面A1BC的距離為d.?
          ∴d=C1B·sinθ.又由直三棱柱性質(zhì)得C1B=.?
          C1到面A1BC的距離是以C1為頂點(diǎn),△A1BC為底面的三棱錐C1—A1BC的高,∴VC1—A1BC=VB—A1C1C .?
          ∴△A1C1C的面積是矩形AA1C1C的面積的一半.?
          ∴S△A1C1C?=.?
          ∵BC⊥AC，CC1⊥BC，?
          ∴BC⊥面AA1C1C.?
          ∴VB—A1C1C?=×S△A1C1C ×BC=.?
          又在△A1BC中，A1B==2，A1C=,BC=1，BC⊥A1C.?
          ∴S△A1BC?=·A1C·BC?
          =.?
          ∴VC1—A1BC?=.?
          ∴.?
          ∴d=.?
          又d=C1Bsinθ,即sinθ=,?
          ∴sinθ=,?
          即BC1與平面A1BC所成角的正弦值為.

          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為a，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)．
          （1）求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
          （2）求異面直線AB1與BC所成角的余弦值；
          （3）求平面AB1D與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記
          AB
          =
          a
          ，
          AC
          =
          b
          ，
          AA
          =
          c
          ，則
          DE
          =
          1
          2
          a
          +
          1
          2
          b
          1
          2
          a
          +
          1
          2
          b
          （用
          a
          ，
          b
          ，
          c
          表示）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分別是A'B'、A'A的中點(diǎn)．
          （1）求證：A'B⊥C'M；
          （2）求異面直線BA'與CB'所成交的大�。�
          （3）（理）求BN與平面CNB'所稱的角的大��；
          （4）（理）求二面角A-BN-C的大�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=a.
          (1)求證:AB1∥平面BC1D;
          (2)求異面直線AB1與BC1所成的角;
          (3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.
          

			
          

			
          
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