Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)M，使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項(xiàng)，若能找到，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)M作左準(zhǔn)線的垂線MA交左準(zhǔn)線于A，由M點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項(xiàng)知2|MA|=|MF₁|+|MF₂|，此結(jié)合題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出|MA|=2，從而導(dǎo)出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1位于y軸左側(cè)的部分上有一點(diǎn)M，它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項(xiàng)．
過(guò)點(diǎn)M作左準(zhǔn)線的垂線MA交左準(zhǔn)線于A，則2|MA|=|MF₁|+|MF₂|．
∵a=2，c=1，e=

1

2

，
∴2|MF₁|=|MA|+2-|MF₁|，
∴3|MF₁|=|MA|+2，
∴3e=1+

1

|MA|

，
∴

1

|MA|

=

1

2

∴|MA|=2．
∵點(diǎn)A在左準(zhǔn)線x=-4上，
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀=-4+2=-2．
把x₀=-2代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1得y₀=0，∴M（-2，0）．
故存在點(diǎn)M，其坐標(biāo)是M（-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)，解題時(shí)注意挖掘隱含條件．