Question

（2010•廣東模擬）如圖，PO⊥ABCD，點(diǎn)O在AB上，EA∥PO，四邊形ABCD為直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=

1

2

CD
（1）求證：BC⊥平面ABPE；
（2）直線PE上是否存在點(diǎn)M，使DM∥平面PBC，若存在，求出點(diǎn)M；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接DO，通過BC⊥AB，PO⊥BC，PO∩AB=0，證明BC⊥平面ABPE；
（2）假設(shè)在線段PE上存在一點(diǎn)M，由題意及圖形建立空間直角坐標(biāo)系，寫出個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，使DM∥平面PBC，利用向量的知識(shí)建立未知量的方程進(jìn)，進(jìn)而求解．

解答：（1）證明：連接DO，BO∥CD且BO=CD，又BC⊥AB，則四邊形BODC是矩形，
因?yàn)镻O⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PO⊥BC，∵PO∩AB=0，
∴BC⊥平面ABPE．
（2）解：存在滿足條件的點(diǎn)M．由（1）可知，
OD、OB、OP兩兩垂直，分別以O(shè)D、OB、OP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AO=1，則B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，-1，1），P（0，0，2），
則

PE

=(0，-1，-1)，

PB

=(0，2，-2)，

BC

=(2，0，0)．

PE

•

BC

=0，向量

PE

是平面PBC的一個(gè)法向量，
若在線段PE上存在一點(diǎn)M，使DM∥平面PBC，
設(shè)

PM

=λ

PE

，則

DM

=

DP

+

PM

=(-2，0，2)+λ(0，-1，-1)=(-2，-λ，2-λ)，
由

DM

•

PE

=0，
得λ-（2-λ）=0，
∴λ=1，即M點(diǎn)與線段PE的端點(diǎn)E重合．

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的知識(shí)證明可線面垂直，考查空間向量的知識(shí)及方程的思想求解問題．