Question

（1）是否存在實數m，使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的充分條件？
（2）是否存在實數m，使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的必要條件？

Answer 1

分析：（1）要判斷是否存在實數m，使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的充分條件，即判斷是否存在實數m，使2x+m＜0的解集是x²-2x-3＞0解集的子集，根據集合之間關系的判定，我們不難給出實數m的范圍．
（2）要判斷是否存在實數m，使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的必要條件，即判斷是否存在實數m，使x²-2x-3＞0的解集是2x+m＜0的解集的子集，根據集合之間關系的判定，我們不難給出實數m的范圍．

解答：解：（1）欲使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的充分條件，
則只要{x|x＜-

m

2

}⊆{x|x＜-1或x＞3}，
則只要-

m

2

≤-1
即m≥2，
故存在實數m≥2時，
使2x+m＜0是x²-2x-3＞0的充分條件．
（2）欲使2x+m＜0是x²-2x-3＞0的必要條件，
則只要{x|x＜-

m

2

}?{x|x＜-1或x＞3}，
則這是不可能的，
故不存在實數m時，
使2x+m＜0是x²-2x-3＞0的必要條件．

點評：判斷充要條件的方法是：①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．