Question

已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且.
（1）求C的方程；
（2）過(guò)F的直線(xiàn)與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線(xiàn)與C相較于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求的方程.

Answer 1

（1）；（2）直線(xiàn)的方程為或．

試題分析：（1）由已知條件，先求點(diǎn)的坐標(biāo)，再由及拋物線(xiàn)的焦半徑公式列方程可求得的值，從而可得拋物線(xiàn)C的方程；（2）由已知條件可知直線(xiàn)與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線(xiàn)的點(diǎn)參式方程：，代入消元得．設(shè)由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式表示的中點(diǎn)的坐標(biāo)及長(zhǎng)，同理可得的中點(diǎn)的坐標(biāo)及的長(zhǎng)．由于垂直平分線(xiàn)，故四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于，由此列方程可求得的值，進(jìn)而可得直線(xiàn)的方程．
試題解析：（1）設(shè)，代入，得．由題設(shè)得，解得（舍去）或，∴C的方程為；（2）由題設(shè)知與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)的方程為，代入得．設(shè)則
．故的中點(diǎn)為．又的斜率為的方程為．將上式代入，并整理得．設(shè)則．故的中點(diǎn)為．
由于垂直平分線(xiàn)，故四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于，從而即，化簡(jiǎn)得，解得或．所求直線(xiàn)的方程為或．