Question

已知橢圓經過點，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一正方形.（12分）
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，若線段的垂直平分線經過點，求
（為原點）面積的最大值.

Answer 1

（1）；(2) 面積的最大值為.

試題分析：（1）兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一正方形,可知，又在橢圓上，可得的值；（2）可得直線直線有斜率，當直線的斜率為時,則的垂直平分線為軸，，當直線的斜率不為時，則設的方程為，與橢圓方程聯立可得，方程有兩個不同的解又，
由弦長公式求出，又原點到直線的距離為，那么，可得時，取得最大值.
試題解析：（1）∵橢圓的兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成正方形，
∴，∴，             2分
又∵橢圓經過點，代入可得，
∴故所求橢圓方程為                 4分
(2)設因為的垂直平分線通過點，顯然直線有斜率，
當直線的斜率為時,則的垂直平分線為軸，此時
所以，因為，所以

所以，當且僅當時，取得最大值為，     6分
當直線的斜率不為時，則設的方程為
所以，代入得到         
當,   即                          
方程有兩個不同的解又，         
所以，又，化簡得到    -----8分
代入，得到               
又原點到直線的距離為

所以
考慮到且化簡得到              10分
因為，所以當時，即時，取得最大值.
綜上，面積的最大值為            12分