Question

正四面體的四個頂點都在一個球面上，且正四面體的高為4，則球的表面積為（　　）

• A．16(12-6

  3

  )π
• B．18π
• C．36π
• D．64(6-4

  2

  )π

Answer 1

分析：如圖所示：設(shè)正四面體的棱長等于a，球的半徑等于r，先求出BH的值，用勾股定理求出AH，再由AH=4求出a的值，Rt△BOH中，由勾股定理求得r的值，代入球的表面積公式求出球的表面積．

解答：解：如圖所示：設(shè)正四面體的棱長等于a，球的半徑等于r，作AH垂直于平面BCD，H為垂足．
則BH=

2

3

•BD=

2

3

•

3

2

a=

3

3

a，故AH=

AB2-BH2

=

a2-( 3 a 3 )2

=

6

3

a．
再由AH=4，可得

6

3

a=4，∴a=

12

6

．
Rt△BOH中，由勾股定理可得 r2= (4-r)2+(

3

3

a)2，解得r=3．
故球的表面積為4πr²=36π，
故選C．

點評：本題主要考查球的內(nèi)接正四面體的性質(zhì)，求球的表面積的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．