Question

記[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{x_n}滿足x₁=a，，現(xiàn)有下列命題：
①當(dāng)a=5時(shí)，數(shù)列{x_n}的前3項(xiàng)依次為5，3，2；
②對(duì)數(shù)列{x_n}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)總有x_n=x_k；
③當(dāng)n≥1時(shí)，；
④對(duì)某個(gè)正整數(shù)k，若x_k+1≥x_k，則．
其中的真命題有    ．（寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：按照給出的定義對(duì)四個(gè)命題結(jié)合數(shù)列的知識(shí)逐一進(jìn)行判斷真假，①列舉即可；②需舉反例；③可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；④可由歸納推理判斷其正誤
解答：解：①當(dāng)a=5時(shí)，x₁=5，
，
，
∴①正確．
②當(dāng)a=8時(shí)，x₁=8，




∴此數(shù)列從第三項(xiàng)開始為3，2，3，2，3，2…為擺動(dòng)數(shù)列，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)n=1時(shí)，x₁=a，∵a-（）=＞0，∴x₁=a＞成立，
假設(shè)n=k時(shí)，，
則n=k+1時(shí)，，
∵≥≥，
∴＞
∴對(duì)任意正整數(shù)n，當(dāng)n≥1時(shí)，；③正確；
④∵≥x_k，
由數(shù)列①②規(guī)律可知一定成立
故正確答案為①③④
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，歸納推理和演繹推理的方法，直接證明和間接證明方法，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，難度較大，需有較強(qiáng)的推理和思維能力