Question

（2012•四川）記[x]為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{x_n}滿足x₁=a，xn+1=[

xn+[ a xn ]

2

](n∈N*)，現(xiàn)有下列命題：
①當(dāng)a=5時(shí)，數(shù)列{x_n}的前3項(xiàng)依次為5，3，2；
②對數(shù)列{x_n}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)總有x_n=x_k；
③當(dāng)n≥1時(shí)，xn＞

a

-1；
④對某個(gè)正整數(shù)k，若x_k+1≥x_k，則xk=[

a

]．
其中的真命題有

①③④

．（寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析：按照給出的定義對四個(gè)命題結(jié)合數(shù)列的知識(shí)逐一進(jìn)行判斷真假，①列舉即可；②需舉反例；③可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；④可由歸納推理判斷其正誤

解答：解：①當(dāng)a=5時(shí)，x₁=5，
x2=[

x1+[ a x1 ]

2

] =[

5+[ 5 5 ]

2

] =3，
x3=[

x2+[ a x2 ]

2

] = [

3+[ 5 3 ]

2

] =2，
∴①正確．
②當(dāng)a=8時(shí)，x₁=8，
x2=[

x1+[ a x1 ]

2

] =[

8+[ 8 8 ]

2

] =4
x3=[

x2+[ a x2 ]

2

] = [

4+[ 8 4 ]

2

] =3
x4=[

x3+[ a x3 ]

2

] = [

3+[ 8 3 ]

2

] =2
x5=[

x4+[ a x4 ]

2

] = [

2+[ 8 2 ]

2

] =3
∴此數(shù)列從第三項(xiàng)開始為3，2，3，2，3，2…為擺動(dòng)數(shù)列，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)n=1時(shí)，x₁=a，∵a-（

a

-1）=(

a

-

1

2

) 2+

3

4

＞0，∴x₁=a＞

a

-1成立，
假設(shè)n=k時(shí)，xk＞

a

-1，
則n=k+1時(shí)，xk+1=[

xk+[ a xk ]

2

]，
∵

xk+[ a xk ]

2

≥

xk+ a xk

2

≥

a

，
∴xk+1=[

xk+[ a xk ]

2

]＞

a

-1
∴對任意正整數(shù)n，當(dāng)n≥1時(shí)，xn＞

a

-1；③正確；
④xk+1=[

xk+[ a xk ]

2

]≥x_k，
由數(shù)列①②規(guī)律可知xk=[

a

]一定成立
故正確答案為①③④

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，歸納推理和演繹推理的方法，直接證明和間接證明方法，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，難度較大，需有較強(qiáng)的推理和思維能力