Question

【題目】某學(xué)校有120名教師，且年齡都在20歲到60歲之間，各年齡段人數(shù)按分組，其頻率分布直方圖如圖所示，學(xué)校要求每名教師都要參加兩項(xiàng)培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試．已知各年齡段兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)如表示，假設(shè)兩項(xiàng)培訓(xùn)是相互獨(dú)立的，結(jié)業(yè)考試成績(jī)也互不影響．

年齡分組	A項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)	B項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)
[20，30）	30	18
[30，40）	36	24
[40，50）	12	9
[50，60]	4	3

（1）若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個(gè)容量為40的樣本，求從年齡段[20，30）抽取的人數(shù)；
（2）求全校教師的平均年齡；
（3）隨機(jī)從年齡段[20，30）和[30，40）內(nèi)各抽取1人，設(shè)這兩人中兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖知，0.35×40=14
（2）解：由頻率分布直方圖得：

全校教師的平均年齡為：

25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35

（3）解：∵在年齡段[20，30）內(nèi)的教師人數(shù)為120×0.35=42（人），從該年齡段任取1人，

由表知，此人A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為 ，

B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為 ，

∴此人A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的概率為 ，

∵在年齡段[30，40）內(nèi)的教師人數(shù)為120×0.4=48（人），

從該年齡段任取1人，由表知，此人A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為 ，

B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為 ，

∴此人A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的概率為

由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2．

∴ ，

，

∴X的概率分布為

X	0	1	2
P

X的數(shù)學(xué)期望為

【解析】（1）由頻率分布直方圖能求出從年齡段[20，30）抽取的人數(shù)．（2）由頻率分布直方圖能求出全校教師的平均年齡．（3）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】掌握頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．