Question

【題目】已知橢圓E的長軸長與焦距比為2：1，左焦點F（﹣2，0），一定點為P（﹣8，0）．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過P的直線與橢圓交于P1、P2兩點，設直線P1F、P2F的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．

（3）求△P1P2F面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）+=1；（2）見解析;（3）3．

【解析】

（1）設橢圓方程為+=1（a＞b＞0），

由題意可得c=2，e==，又c2=a2﹣b2，

解得c=2，a=4，b=2，

即橢圓方程為+=1；

（2）證明：設直線P1P2：y=k（x+8），

代入橢圓方程可得（3+4k2）x2+64k2x+256k2﹣48=0，

由△=642k4﹣4（3+4k2）（256k2﹣48）＞0，即有

設P1（x1，y1），P2（x2，y2），

x1+x2=﹣，x1x2=，

即有k1+k2=+=+=k，

將韋達定理代入上式，可得

2x1x2+10（x1+x2）+32=﹣+32=0，

則k1+k2=0；

（2）△P1P2F面積S=|PF||y1﹣y2|

=3|k||x1﹣x2|=3|k|=3|k|

=72，

設t=3+4k2（3＜t＜4），

則S=72=36=36，

當=即t=即k=±時，取得最大值，且為3．

則△P1P2F面積的最大值為3．