Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

，x∈[-

π

2

，

π

2

]有下面四個結(jié)論：
（1）f（x）是奇函數(shù)；    
（2）f（x）＜

3

2

恒成立；
（3）f（x）的最大值是

3

2

； 
（4）f（x）的最小值是-

1

2

．
其中正確結(jié)論的是

（2）、（4）

．

Answer 1

分析：由函數(shù)為偶函數(shù)，故排除（1）；根據(jù)函數(shù)在[0，

π

2

]內(nèi)是增函數(shù)，故當(dāng)x=

π

2

時，函數(shù)取得最大值為

3

2

-(

2

3

)

π

2

＜

3

2

，可得（2）成立且（3）不成立．再根據(jù)當(dāng)x=0時，函數(shù)取得最小值為 0-1+

1

2

=-

1

2

，可得（4）成立，綜合可得結(jié)論．

解答：解：由于函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

，x∈[-

π

2

，

π

2

]，可得此函數(shù)為偶函數(shù)，故排除（1）．
且函數(shù)在[0，

π

2

]內(nèi)是增函數(shù)，故當(dāng)x=

π

2

時，函數(shù)取得最大值為

3

2

-(

2

3

)

π

2

＜

3

2

，
故（2）成立且（3）不成立．
再根據(jù)函數(shù)在[0，

π

2

]內(nèi)是增函數(shù)，可得當(dāng)x=0時，函數(shù)取得最小值為 0-1+

1

2

=-

1

2

，故（4）成立．
故答案為 （2）、（4）．

點評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和最值，屬于中檔題．