Question

已知函數(shù)f(x)=mx-2+

2

-1（m＞0，m≠1）的圖象恒通過定點（a，b）．設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
（1）求橢圓E的方程．
（2）若動點T（t，0）在橢圓E長軸上移動，點T關(guān)于直線y=-x+

1

t2+1

的對稱點為S（m，n），求

n

m

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)的解析式求出定點（a，b）的坐標，進而得到a和b的值，從而得到橢圓E的方程．
（2）利用點與其對稱點的連線與對稱軸垂直，以及點與其對稱點的連線的中點在對稱軸上，求出對稱點S（m，n），
設(shè)?（t）=

n

m

，利用它的導數(shù)符號判斷其單調(diào)性，由單調(diào)性求?（t）的最值，進而得到

n

m

的取值范圍．

解答：解：（1）∵當x=2時，f(2)=m2-2+

2

-1=

2

，
∴函數(shù)f（x）的圖象通過定點(2，

2

)．
∴a=2，b=

2

.
所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵點T與點S關(guān)于直線y=-x+

1

t2+1

對稱，
∴

n m-t =1 n 2 =- m+t 2 + 1 t2+1

，
解方程組得

m= 1 t2+1 n= 1 t2+1 -t

．
設(shè)?(t)=

n

m

=-t3-t+1(t∈[-2，2])，
∵?′（t）=-2t²-1＜0，
∴?（t）在區(qū)間[-2，2]上是減函數(shù)．
∵?（-2）=11，?（2）=-9，
∴

n

m

的取值范圍是[-9，11]．

點評：本題考查橢圓的標準方程和橢圓的性質(zhì)，求一個點關(guān)于直線的對稱點的方法，以及利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求函數(shù)的值域的方法．