Question

已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，
由已知得，解得a=4，c=3，
所以橢圓C的標準方程為；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），其中x∈[-4，4]，
由已知及點P在橢圓C上可得，
整理得，其中x∈[-4，4]，
（�。�時，化簡得，
所以點M的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
（ⅱ）時，方程變形為，其中x∈[-4，4]，
當時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分；
當時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分；
當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓。