Question

（本小題滿分13分）

        已知橢圓C的中心在的點，焦點在x軸上，F₁，F₂分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線與橢圓交于A，B兩點，的面積為4，的周長為

   （I）求橢圓C的方程；

   （II）設點Q的從標為（1，0），是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直

線PF₁，PF₂都相切，若存在，求出P點坐標及圓的方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【解】（I） 由題意知：，解得

       ∴ 橢圓的方程為       …………………………  5分

       （II）假設存在橢圓上的一點，使得直線與以為圓心的圓相切，則到直線的距離相等,

      

       ： 

       ：      

      

       化簡整理得：   ……………  9分

       ∵ 點在橢圓上，∴

       解得： 或 （舍）   ………………………… 11分

       時，，，                   

       ∴ 橢圓上存在點，其坐標為或，使得直線與以為圓心的圓相切  ……………… 13分