Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx，   1≤x≤4 -2lnx，   1 4 ≤x≤1

，若函數(shù)F（x）=f（x）-kx在區(qū)間[

1

4

，4]上恰好有一個零點(diǎn)，則k的取值范圍為（　�。�

• A、（

  1

  e

  ，16ln2]∪{0}
• B、（

  1

  e

  ，+∞）∪{0}
• C、[

  ln2

  2

  ，16ln2）∪{0}
• D、（

  ln2

  2

  ，16ln2]∪{0}

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=kx在區(qū)間[

1

4

，4]上恰好有一個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答：解：由題意可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=kx
在區(qū)間[

1

4

，4]上恰好有一個交點(diǎn)，
如圖所示：顯然，當(dāng)k=0時，滿足條件．
當(dāng)y=kx和y=lnx相切時，設(shè)切點(diǎn)為A（x₀，lnx₀），
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得

1

x0

=

lnx0-0

x0-0

，
解得x₀=e，故切線的斜率為

1

e

．
當(dāng)y=kx經(jīng)過點(diǎn)B（

1

4

，4ln2）時，k=

4ln2

1 4

=16ln2．
故k的范圍為（

1

e

，16ln2]∪{0}，
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．