Question

【題目】已知定義在上的連續(xù)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，，則下列命題正確的有________.

①若，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

②函數(shù)為偶函數(shù)；

③；

④若且,則.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據(jù)已知條件得到函數(shù)的對(duì)稱軸，以及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

因?yàn)?/span>，故關(guān)于對(duì)稱；

又，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減.

對(duì)①：若，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，顯然，則

根據(jù)零點(diǎn)存在定理和函數(shù)單調(diào)性，在上各有1個(gè)零點(diǎn)，故①正確；

對(duì)②：因?yàn)?/span>關(guān)于對(duì)稱，故關(guān)于對(duì)稱，故是偶函數(shù)，則②正確；

對(duì)③：，由函數(shù)在單調(diào)遞減可知，

，故③錯(cuò)誤；

對(duì)④：因?yàn)?/span>，故可得；因?yàn)?/span>，故可得

故，又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，

故可得，故④正確.

綜上所述：正確的有①②④.

故答案為：①②④.