Question

【題目】已知函數(shù)，，其中．

（Ⅰ）求在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由導數(shù)幾何意義可知，切線斜率，又切點為，則所求切線方程為；

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，可知時， 單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，故，即，則；又令，同理可得，即，則.可知，在定義域內(nèi)，當時，，得證.

試題解析：（Ⅰ），即切點為.，，即切線的斜率為，切線方程為，即.

（Ⅱ）證明：先設，定義域為，則.

當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以，即，則.

再設，定義域為，則.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以，即，則.

又知，時，當時，.結(jié)合前述討論，可得，因為兩個等號分別當，時取得，所以，綜上所述，當時，.……12分