Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若k=2010，關(guān)于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

分析：對(duì)（1）要先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分k為奇偶數(shù)討論導(dǎo)函數(shù)大于和小于零時(shí)的自變量范圍，由此即可獲得解答；
對(duì)（2）利用k=2010先將方程化簡(jiǎn)，從而得到函數(shù)g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax有唯一的零點(diǎn)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析單調(diào)性，從而結(jié)合

g(x2)=0 g′(x2)=0

求解即可．

解答：解：（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k•

2a

x

．
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，則f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

．
所以當(dāng)x∈(0，

a

)時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f（x）在(0，

a

)上是減函數(shù)，
在（

a

，+∞）上是增函數(shù)．
（2）若k=2010，則f（x）=x²-2alnx（k∈N^*）．
記g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax，
g′(x)=2x-

2a

x

-2a=

2

x

(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g'（x）=0，得x²-ax-a=0．因?yàn)閍＞0，x＞0，
所以x 1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），
x 2=

a+ a2+4a

2

．
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)x=x₂時(shí)，g'（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．
因?yàn)間（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax 2-a=0

兩式相減得alnx₂+ax₂-a=0，因?yàn)閍＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）．
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
因?yàn)樵趚＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因?yàn)閔（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，從而解得a=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)與方程的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、分類(lèi)討論的思想以及求導(dǎo)的知識(shí)．綜合應(yīng)用性強(qiáng)，值得同學(xué)們體會(huì)反思．