Question

已知銳角△ABC中的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，定義向量

m

=(2sinB，-

3

)，

n

=(cos2B，2cos2

B

2

-1)且

m

∥

n

．
（1）求函數(shù)f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果b=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）通過

m

∥

n

求出tan2B=-

3

，解出B的值，然后利用兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果b=2，利用余弦定理得到ac的范圍，然后確定△ABC的面積的最大值．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

，∴2sinB(2cos2

B

2

-1)=-

3

cos2B．∵sin2B=-

3

cos2B，即tan2B=-

3

又∵B為銳角，∴2B∈（0，π），∴2B=

2π

3

，∴B=

π

3

.f(x)=sin2xcosB-cos2xsinB=sin(2x-

π

3

)．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)．得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

 (k∈Z)．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

 ]. (k∈Z)
（2）∵B=

π

3

，b=2，由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得到：ac+4=a²+c²≥2ac，∴ac≤4，S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立）．
即△ABC面積的最大值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的恒等變換以及化簡(jiǎn)求值，余弦定理，函數(shù)最值的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．