Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3（a-1）x²-6ax，x∈R．，
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當a≥0時，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)大于0函數(shù)單調(diào)遞增，導數(shù)小于0時函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．
（2）先確定函數(shù)f（x）兩個極值點的范圍，再由[-1，2]⊆[x₁，x₂]可得答案．

解答：解：（I）f'（x）=3x²-6（a-1）x-6a．
由f'（x）=0解得x1=-1+a-

a2+1

，x2=-1+a+

a2+1

.
當x∈（-∞，x₁）或x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0；
當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1+a-

a2+1

）和(-1+a+

a2+1

，+∞)
調(diào)遞減區(qū)間為(-1+a-

a2+1

，-1+a+

a2+1

).
（II）由a≥0，知x1=-1+a-

a2+1

=-1-(

a2+1

-a)＜-1，x2=-1+a+

a2+1

=a+(

a2+1

-1)＞0，
則函數(shù)f（x）在[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)
當且僅當[-1，2]⊆[x₁，x₂]，?（9分）
即x2=a-1+

a2+1

≥2，解得a≥

4

3

.
故a的取值范圍是[

4

3

，+∞).

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．