Question

11、某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數(shù)為R（x）=3 700x+45x²-10x³（單位：萬元），成本函數(shù)為C（x）=460x+5 000（單位：萬元），又在經濟學中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．
（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；（提示：利潤=產值-成本）
（2）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？
（3）求邊際利潤函數(shù)MP（x）的單調遞減區(qū)間，并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？

Answer 1

分析：（1）根據利潤=產值-成本，及邊際函數(shù)Mf（x）定義得出利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；
（2）先對利潤函數(shù)P（x）求導數(shù)，P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），利用導數(shù)研究它的單調性，從而求得其最大值，即可得出年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大．
（3）根據MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305．利用二次函數(shù)的性質研究它的單調性，最后得出單調遞減在本題中的實際意義單調遞減在本題中的實際意義即可．

解答：解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N*，且1≤x≤20）；
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275（x∈N*，且1≤x≤19）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0時，x=12，
∴當0＜x＜12時，
P′（x）＞0，當x＞12時，P′（x）＜0，
∴x=12時，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大．
（3）MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305．
所以，當x≥1時，MP（x）單調遞減，
所以單調減區(qū)間為[1，19]，且x∈N^*．
MP（x）是減函數(shù)的實際意義，隨著產量的增加，每艘利潤與前一艘利潤比較，利潤在減少．

點評：利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，關鍵是要建立恰當?shù)臄?shù)學模型，把問題中所涉及的幾個變量轉化為函數(shù)關系式，這需要通過分析、聯(lián)想、抽象和轉化完成．函數(shù)的最值要由極值和端點的函數(shù)值確定．當函數(shù)定義域是開區(qū)間且在區(qū)間上只有一個極值時，這個極值就是它的最值．