Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判斷此時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，得到c=2a，再有a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosB，將得出的關(guān)系式代入計(jì)算即可求出值；
（2）由表示出的cosB，將b²=ac代入利用基本不等式變形求出cosB的最小值，由余弦函數(shù)在[0，π]上為減函數(shù)，確定出B的最大值，由此時(shí)a=c及b²=ac，得出三角形ABC為等邊三角形．

解答：解：（1）sinC=2sinA利用正弦定理化簡(jiǎn)得：c=2a，
∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac=2a²，即b=

2

a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-2a2

4a2

=

3

4

；
（2）∵b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∵函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，π]上為減函數(shù)，
∴B∈（0，

π

3

]，即角B的最大值為

π

3

，
此時(shí)有a=c，且b²=ac，可得a=b=c，
則△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形形狀的判斷，等比數(shù)列的性質(zhì)，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．